数学

巨大数の表記法の一つ「クヌースの矢印表記」

こんにちは、Maichanです。
今回は巨大数を語るには必須の「クヌースの矢印表記」について書いていこうと思います。

今回も注意して頂きたいのですが、Maichanは専門家ではないですし大学で数学を勉強したわけでもありませんので、こちらで紹介したことが100%正しいという保証はできません。
もし興味を持たれた方は、ぜひご自身で調べてみてください。

反復計算と矢印表記

a×b=a+a+…+a(aをb回繰り返す)

加算の反復、これが乗算です。

ab=a×a×…×a(aをb回繰り返す)

乗算の反復、これがべき乗です。

これを矢印表記を使って表すと、

ab=a↑b

となります。

テトレーションとトリトリ

a↑↑b=a↑a↑…↑a(aをb回繰り返す)

べき乗の反復、これをテトレーションといいます。

たとえば、

3↑↑3=3↑3↑3=333=7625597484987

となります。

さらに、

a↑↑↑b=a↑↑a↑↑…↑↑a(aをb回繰り返す)

テトレーションの反復、これをペンテーションといいます。

矢印表記は右から計算していきます。

たとえば

3↑↑↑3=3↑↑3↑↑3=3↑↑7625597484987=3↑3↑…↑3(3を7625597484987回繰り返す)

となります。

この数にはギリシャ語で3を意味する”tri-“から、「トリトリ」という名前がついています。

ラムネ
ラムネ
どれくらい大きな数かピンときませんにゃね。

3↑3↑3↑3↑3↑3↑3=1010106.0 × 103638334640023

となり、この時点でグーゴルプレックス(1010100)を遥かに超える数であることがわかります。

この3↑3↑…↑3が7625597484987回続くわけです。

ラムネ
ラムネ
ここまで来ると物や現象で例えることは不可能にゃね。

n重の矢印は↑nで略すことができます。

すなわち3↑↑↑3は3↑33と表せます。

ラムネ
ラムネ
3つの3でトリトリというわけにゃか?

トリトリは数学の証明で使われたもっとも大きい数「グラハム数」の計算過程の数の一つでもあります。

ラムネ
ラムネ
早くグラハム数を教えるにゃ!

落ち着いてください、ラムネちゃん。
ここをきちんと理解していないと、グラハム数は理解できませんよ。

さて、クヌースの矢印表記ときたらコンウェイのチェーン表記だとおもうのですが、いまいちピンと来ていないので説明できないMaichanなのでした。

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